Während heute schon die Schulbildung
Kenntnisse des Werkes von Mozart und von
Freud vermittelt (deren 250. bzw. 150.
Geburtstag im Jahr 2006 weltweit
gefeiert wird), verbinden mit dem Namen
Kurt Gödels (dessen 100. Geburtstag in
das gleiche Jahr fällt) selbst heutige
Fachgenossen, also Mathematiker, oft
kaum konkretere Vorstellungen, obwohl
einige der von ihm erzielten Resultate
unbestritten zu den bedeutendsten
Leistungen der Mathematik des 20.
Jahrhunderts zählen.
Am
28. April 1906 in Brünn geboren,
studierte Gödel von 1924 bis 1929 in
Wien Physik und Mathematik und wurde
1930 mit einer 1929 eingereichten
Dissertation promoviert, in der er
zeigte, daß jedes logisch wahre
Aussagenschema im Kalkül der klassischen
Quantorenlogik 1. Stufe herleitbar ist
(womit er ein erst 1928 in Hilbert und
Ackermann, „Grundzüge der theoretischen
Logik“, gestelltes Hauptproblem
der mathematischen Logik löste). 1932
habilitierte sich Gödel mit einer 1931
veröffentlichten Arbeit, welche die
mathematische Logik und
Grundlagenforschung revolutionierte und
bis heute, also über 75 Jahre hinweg,
nachwirkt. Obwohl seit 1933 Privatdozent
an der Universität Wien, lehrte Gödel
dort nur insgesamt drei Semester und
forschte im übrigen als
Gastwissenschaftler am Institute for
Advanced Study in Princeton, N.J., wo
seit l933 als Gastprofessor auch Albert
Einstein tätig war, zu dem sich eine
enge Freundschaft entwickelte. Gödel
heiratete 1938 Adele Nimbursky, geb.
Porkert, und kehrte nach dem sog.
Anschluß Österreichs an das
„Großdeutsche Reich“ nicht mehr nach
Wien zurück; er übersiedelte 1940 nach
Princeton, wurde dort 1946 ständiges
Mitglied des Institute for Advanced
Study und 1948 amerikanischer
Staatsbürger. Gödel, der schon seit den
Wiener Jahren immer wieder mit
psychischen Problemen zu kämpfen hatte,
beschränkte sich in Princeton auf eine
intensive Forschungstätigkeit, die durch
die Verleihung des Einstein-Preises (mit
Julian Schwinger) 1951 und Aufnahme in
die London Mathematical Society, die
London Royal Society und das Institut de
France international Anerkennung fand.
Seit 1976 Professor emeritus, starb
Gödel am 14. Januar 1978 in
Princeton.
Die
drei großen Gebiete der Wissenschaft des
20. Jahrhunderts, zu denen Gödel
originelle und bleibende Beiträge
geleistet hat, sind (1) die
mathematische Logik, (2) die Mengenlehre
und (3) die Kosmologie, d. h. die Lehre
von der Struktur des Weltalls. In der
mathematischen Logik können neben dem
schon genannten Nachweis der
Vollständigkeit des klassischen
Logikkalküls 1. Stufe (dessen Formeln
logisch, d. h. mit Hilfe von
Verknüpfungswörtern wie „und“, „oder“, „wenn-dann“,
„alle“ und „manche“ zusammengesetzt
sind) Gödels Einzelergebnisse zum
Verhältnis von klassischer und
nicht-klassischer Logik sowie zum
„Entscheidungsproblem“ (der Suche nach
einem quasi mechanischen Verfahren, das
für jeden logisch zusammengesetzten
Ausdruck die Frage nach seiner
Allgemeingültigkeit in endlich vielen
Schritten mit Ja oder Nein beantwortet)
nur erwähnt werden. Um den umwälzenden
und bahnbrechenden Charakter des
Gödelschen Unvollständigkeitssatzes von
1931 zu erfassen, bedarf es eines kurzen
Blicks auf die Situation der modernen
Mathematik zu diesem Zeitpunkt:
Der
geniale Einfall der alten Griechen, die
Unendlichkeit der wahren Sätze der
Mathematik dadurch überschaubar und
beherrschbar zu machen, daß man eine
endliche Anzahl von ihnen als „Axiome“
an den Anfang stellt und alle anderen
als logische Folgerungen aus den Axiomen
charakterisiert, war im 19. und zu
Anfang des 20. Jahrhunderts durch Frege,
Hilbert, Russell und Whitehead
perfektioniert worden. Es bestand sogar
die Hoffnung, die Mathematik auf der
Basis eines endlichen Systems allein von
logischen und arithmetischen, vielleicht
sogar rein mengentheoretischen Axiomen
aufbauen und darüber hinaus auch einen
Beweis für die Widerspruchsfreiheit
dieses Systems führen zu können. Gödels
Unvollständigkeitssatz machte diese
Hoffnung des „Hilbertprogramms“
zumindest hinsichtlich der
Vollständigkeit zunichte. Gödel fand
nämlich, daß sich zu jedem effektiven
Kalkül
K 1. Stufe, unter dessen Regeln
solche zur Erzeugung aller verwendeten
Ausdrücke sowie die wesentlichen Axiome
der Arithmetik oder auch der Mengenlehre
enthalten sind, alle Regeln nur endlich
viele Prämissen haben, und eine (heute
als „Gödelisierung“ bezeichnete)
„Codierung“ aller Beweise existiert, ein
korrekt gebildeter Satz A von der Art
konstruieren läßt, daß weder A noch sein
Gegenteil ¬A in
K herleitbar sind.
K ist also unvollständig mit der
besonderen Pointe, daß sich A unabhängig
von jedem Kalkül sogar als wahre
mathematische Aussage erweist. Es kann
daher keinen strengen Kalkül zum Aufbau
der Gesamtmathematik geben, und Gödel
konnte auch zeigen, daß sich ein etwa
gelingender Widerspruchsfreiheitsbeweis
für
K nicht mit den Mitteln von
K ausdrücken ließe (auch wenn er
damit natürlich nicht als unmöglich
erwiesen ist). Informatiker würden das
Gödelsche Ergebnis so formulieren, daß
kein Computerprogramm jemals den
gesamten Satzbestand der Mathematik
liefern oder gar die Wahrheit oder
Falschheit jeder vorgelegten
mathematischen Aussage entscheiden kann.
Dieser Nachweis prinzipieller Grenzen
von Kalkülen hat im 20. Jahrhundert die
Konzeption der Mathematik grundlegend
verändert; er bedeutet jedoch – entgegen
populären Vorstellungen – weder, daß
Gödel eine paradoxe Aussage entdeckt
hat, die ihre eigene Unbeweisbarkeit
behauptet, noch daß er die
Grenzenlosigkeit des menschlichen
Geistes aufgezeigt hat. Daran, daß das
von ihm in den Blick gebrachte
Unvollständigkeitsphänomen eine
wirkliche Revolution für Logik,
Mathematik, theoretische Informatik und
Philosophie des Geistes bedeutet, gibt
es allerdings keinen Zweifel.
Ungeachtet der damit auch jeder
kalkülmäßig aufgebauten Mengenlehre
gesetzten Grenzen arbeitet die heutige
Mathematik weithin mit
mengentheoretischen Axiomen und (teils
schon auf den Begründer der Mengenlehre,
Georg Cantor, zurückgehenden)
Begriffsbildungen. Gödel hat sich auch
in die Entwicklung dieser axiomatischen
Mengenlehre mit gewichtigen Beiträgen
eingeschaltet. Daß es keine Menge gibt,
deren Größe („Mächtigkeit“) die der
Menge der natürlichen Zahlen echt
übertrifft und zugleich echt kleiner als
die der Menge der reellen Zahlen ist,
hatte schon Cantor vermutet („Kontinuumhypothese“).
Als unproblematisch galt lange
Zeit die Annahme, daß es zu jeder
Gesamtheit von nicht leeren
elementfremden Mengen auch eine Menge
gebe, die aus jeder Menge dieser
Gesamtheit genau ein Element enthält
(„Auswahlaxiom“). Gödel konnte 1938
zeigen, daß sowohl die Hinzunahme der
Kontinuumhypothese als auch die des
Auswahlaxioms zu einem der üblichen
Axiomensysteme der Mengenlehre
widerspruchsfrei möglich ist, falls
letzteres selbst keinen Widerspruch
herzuleiten erlaubt. Als Paul J. Cohen
1963 beweisen konnte, daß im
betrachteten Fall auch das Negat der
Kontinuumhypothese und das Negat des
Auswahlaxioms widerspruchsfrei
hinzugenommen werden können, war damit
die „Unabhängigkeit“ beider Aussagen von
den übrigen Axiomen der Mengenlehre
gezeigt.
Eine
Erklärung von Gödels Beitrag zur
Kosmologie erfordert die mathematischen
Hilfsmittel der Einsteinschen
Allgemeinen Relativitätstheorie und kann
daher hier nicht gegeben werden. Gödel
hatte, sicherlich aufgrund intensiver
Diskussionen mit Einstein am Institute
for Advanced Study, dessen
Raum-Zeit-Modelle neu untersucht und
dabei bis dahin unbekannte Lösungen der
Gravitationsgleichungen gefunden, die
auf „rotierende Universen“ hinauslaufen
und z. B. Reisen an beliebige Orte in
Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft als
möglich erscheinen lassen –
physikalische Realisierbarkeit
vorausgesetzt. Der Titel seiner ersten
Arbeit dazu (englisch 1949, deutsch
1955: „Eine Bemerkung über die
Beziehungen zwischen der
Relativitätstheorie und der
idealistischen Philosophie“) läßt
erkennen, daß sich Gödel in seinen
späten Jahren vermehrt der Philosophie,
vor allem dem Denken Leibnizens und
Husserls, zuwandte. Sein Einfluß auf das
Fach ist allerdings weitgehend auf die
Philosophie der Mathematik beschränkt
geblieben. Auf den Gebieten der
Mathematik, der Beweistheorie und der
formalen Logik dagegen hatten Gödels
Resultate epochale Wirkung und John von
Neumann, Mitbegründer der Informatik und
der Spieltheorie, zog bei der Verleihung
des Einstein-Preises an Gödel ein
treffendes Fazit aus dessen Arbeiten mit
den Worten: „The subject of logic will
never again be the same.“
Werke:
Collected Works, I-V, hrsg. v.
Solomon Feferman et al. (Vol. I:
Publications 1929-1936, New York/Oxford
1995; Vol. II:
Publications 1938-1974, ebd. 1990; Vol.
III:
Unpublished essays and lectures, ebd.
1995; Vol. IV: Correspondence A-G,
Oxford 2003; Vol. V: Correspondence H-Z,
ebd. 2003).
Lit.:
John W. Dawson, Jr., Kurt Gödel: Leben
und Werk, Wien/New York 1999 (Logical
Dilemmas: The Life and Work of Kurt
Gödel. Wellesley, MA 1996). – Solomon
Feferman, „Gödel’s Life and Work“, in:
K. Gödel, Collected Works, Vol.
I (s. u.), 1-36. –
Gianbruno Guerrerio, Kurt Gödel.
Logische Paradoxien und mathematische
Wahrheit [Spektrum der
Wissenschaft/Biografie], Heidelberg 2002
(Kurt Gödel, Paradossi logici e verità
matematica, Milano 2001). – Ernest
Nagel/James R. Newman, Der Gödelsche
Beweis, Wien/München 1964, 51992
(Gödel’s Proof, New York 1958). –
Christian Thiel, „Kurt Gödel: Die
Grenzen der Kalküle“, in: J. Speck
(Hrsg.), Grundprobleme der großen
Philosophen, Philosophie der Neuzeit VI
(Göttingen 1992), 138-181.
Bild: Ausschnitt aus einer Aufnahme
(Gödel und Einstein) von Richard Arens.
Wiedergabe mit freundlicher Genehmigung
von Prof. Dr. John W. Dawson, Jr.
Christian Thiel
